若抛物线的顶点坐标是(1,16),并且抛物线与x轴两交点间的距离为8,试求该抛物线的关系式,并求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标.

若抛物线的顶点坐标是(1,16),并且抛物线与x轴两交点间的距离为8,试求该抛物线的关系式,并求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标.

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若抛物线的顶点坐标是(1,16),并且抛物线与x轴两交点间的距离为8,试求该抛物线的关系式,并求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标.
答案
设该抛物线的关系式为y=a(x-1)2+16,与x轴的两个交点的横坐标为x1<x2
对称轴x=
x1+x2
2
=1,x2-x1=8;
解得:x1=-3,x2=5,
∴抛物线与x轴两交点为(-3,0),(5,0);
把点(5,0)代入y=a(x-1)2+16,得:16a+16=0,
∴a=-1;
∴该抛物线的关系式为y=-(x-1)2+16,
即y=-x2+2x+15;
将y=10代入,得:-x2+2x+15=10;
解得x1=1+


6
,x2=1-


6

∴这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标为(1+


6
,10),(1-


6
,10).
举一反三
一条抛物线的图象同时满足下列条件:①开口向下,②当x<2时,y随x的增大而增大;当x>2时,y随x的增大而减小,③抛物线与x轴有唯一交点,则这条抛物线的解析式是______(写一个即可).
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一个二次函数,它的二次项系数是1,且图象经过点(2,-3),这样的二次函数可以是______.(只要求写一个符合要求的二次函数)
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已知函数y=x2+3kx+k+1的图象过(-1,4),那么k的值是______.
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x/元253035
y/件15105
已知抛物线y=
1
4
ax2+ax+t
与x轴的一个交点为A(-1,0)
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.