已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;(2)当BC多长时,△A
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已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;(2)当BC多长时,△A
题型:山东省中考真题
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已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;
(2)当BC多长时,△ABC的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△ABC面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说出理由,并求出其最小周长;如果不存在,请给予说明.
答案
解:(1)由题意,得 y=
=﹣
x
2
+10x,当y=48时,﹣
x
2
+10x=48,解得:x
1
=12,x
2
=8, ∴面积为48时BC的长为12或8;
(2)∵
, ∴y=﹣
(x﹣10)
2
+50,
∴当x=10时,y最大=50;
(3)△ABC面积最大时,△ABC的周长存在最小的情形.理由如下:
由(2)可知△ABC的面积最大时,BC=10,BC边上的高也为10 过点A作直线L平行于BC,作点B关于直线L的对称点B′,
连接B′C 交直线L于点A′,再连接A′B,AB′
则由对称性得:A′B′=A′B,AB′=AB,
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C,
当点A不在线段B′C上时,则由三角形三边关系可得:
△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC>B′C+BC,
当点A在线段B′C上时,即点A与A′重合,
这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC,
因此当点A与A′重合时,△ABC的周长最小;
这时由作法可知:BB′=20,
∴B′C=
,
∴△ABC的周长=
,
因此当△ABC面积最大时,存在其周长最小的情形,最小周长为
.
举一反三
如图,抛物线y=
x
2
+bx+c与y轴交于点C(0,﹣4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.
(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
题型:山东省中考真题
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2
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(2)求二次函数的解析式;
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n
1
2
3
4
…
s
1
3
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…
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