如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图1，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O₁的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴，解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=．如答图1所示，
连接O₁B、O₁C，由圆周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，∴△BO₁C为等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半径O₁B=BC=．
（3）抛物线y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．如答图2所示，
由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（，），
∴BM=；在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．
∵△BMN∽△BPC，
∴，即，解得：，MN，设N（x，y），由两点间的距离公式可得．
解之得，，
∴点N的坐标为（，）或（，）．