解:(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+3)(x﹣4),
∵B(0,4)在抛物线上,
∴4=a(0+3)(0﹣4),
解得:a=﹣,
所以抛物线解析式为:
y=﹣(x+3)(x﹣4),
即y=﹣x2+x+4;
(2)连接DQ,在Rt△AOB中,
AB===5,
∴AD=AB=5,
AC=AO+CO=3+4=7,
CD=AC﹣AD=7﹣5=2,
∵BD垂直平分PQ,
∴PD=QD,PQ⊥BD,
∴∠PDB=∠QDB
∵AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,
∴DQ∥AB,
∴∠CQD=∠CBA.∠CDQ=∠CAB,
∴△CDQ∽△CAB,
∴,
即=,DQ=,
∴AP=AD﹣DP=AD﹣DQ=5﹣=,
t=÷1=,
∴t的值是;
(3)对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小.理由如下:
∵抛物线的对称轴为x=﹣=,
∴A(﹣3,0),C(4,0)两点关于直线x=对称,连接AQ交直线x=于点M,
则MQ+MC的值最小.
过点Q作QE⊥x轴于E,
∴∠QED=∠BOA=90°,
∵DQ∥AB,
∴∠BAO=∠QDE,
∴△DQE∽△ABO,
∴,
即==,
∴QE=,DE=,
∴OE=OD+DE=2+=,
∴Q(,),
设直线AQ的解析式为y=kx+m(k≠0)
则,
解得:,
∴直线AQ的解析式为y=x+.
联立,
解得:,
∴M(,),
∴在对称轴上存在点M(,),使MQ+MC的值最小.
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