如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；

题型：福建省月考题难度：来源：

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵B点坐标为（0，2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（﹣2，2），F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
其过三点A（0，1），C（﹣2，2），F（2，2）．
得：，
解这个方程组得：a=，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y=x²+1；
（2）①证明：如答图1，过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=x²+1上，
可设P点坐标为（a，a²+1）．
∴PS=a²+1，OB=NS=2，BN=﹣a．
∴PN=PS﹣NS=a²﹣1，
在Rt△PNB中，
PB²=PN²+BN²=（a²﹣1）²+a²=（a²+1）²，
∴PB=PS=a²+1；
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5，
∴2∠5+2∠3=180°，
∴∠5+∠3=90°，
∴∠SBR=90°．
∴△SBR为直角三角形；
③如答图2，作QN⊥PS，设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b，QR=QB=c，PQ=b+c，PN=b﹣c．
∴QN²=SR²=（b+c）²﹣（b﹣c）²，
∴SR=2．
假设存在点M，且MS=x，MR=2﹣x．
若使△PSM∽△MRQ，则有．
即x²﹣2x+bc=0，
∴x₁=x₂=．
∴SR=2，
∴M为SR的中点；
若使△PSM∽△QRM，则有．
∴．
∴．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．



答图1








答图2