如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求该抛

如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求该抛

题型:浙江省竞赛题难度:来源:
如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P;
(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.
答案
解:(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y=x2+bx+c得
解得
∴抛物线的解折式为y=x2x+1;
(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为m2m+1,
即E点的坐标(m,m2m+1),
又∵点E在直线y=x+1上,
m2m+1=m+1解得m1=0(舍去),m2=4,
∴E的坐标为(4,3).
①当A为直角顶点时,过A作AP1⊥DE交x轴于P1点,
设P1(a,0)易知D点坐标为(﹣2,0),
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得,∴a=,∴P1,0).
②同理,当E为直角顶点时,过E作EP2⊥DE交x轴于P2点,由Rt△AOD∽Rt△P2ED得,=
∴EP2=,DP2==
∴a=﹣2=,P2点坐标为(,0).
③当P为直角顶点时,过E作EF⊥x轴于F,设P3(b、0),由∠OPA+∠FPE=90°,
得∠OPA=∠FEP,Rt△AOP∽Rt△PFE,
,解得b1=3,b2=1,
∴此时的点P3的坐标为(1,0)或(3,0),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(,0)或(1,0)或(3,0)或(,0);
(3)抛物线的对称轴为
B、C关于x=对称,∴MC=MB,要使|AM﹣MC|最大,即是使|AM﹣MB|最大,
由三角形两边之差小于第三边得,
当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大.
易知直线AB的解折式为y=﹣x+1
,得
∴M(,﹣).
举一反三
抛物线y=2x2﹣4x﹣5向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线C,则C关于y轴对称的抛物线解析式是 _________
题型:甘肃省竞赛题难度:| 查看答案
利达经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式促销,经市场调查发现:当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元.设当每吨售价为x元,该经销店的月利润为y元.
(1)当每吨售价是220元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y与x之间的函数关系式;
(3)该经销店要获取最大利润,售价应定为每吨多少元,并说明理由;
(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大”,你认为她的说法正确吗?请说明理由.
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如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B(5,m),且与直线x=2交于点E.
(1)求m的值及该抛物线的函数关系式;
(2)若点D是x轴上一动点,当△DCB∽△ECB时,求点D的坐标;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PC?若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图.已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:湖南省竞赛题难度:| 查看答案
一开口向上抛物线与x轴交于A(m﹣2,0),B(m+2,0)两点,顶点C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线解析式.
(2)点Q在直线y=kx+1上移动,O为原点,当m=4时,直线上只存在一个点Q使得∠OQB=90°,求此时直线解析式.
题型:广东省竞赛题难度:| 查看答案
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