解:(1)由题意可知
O1(m,m),O2(n,n),
设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,
则有:(0<m<n),解得,
∴所求直线的解析式为:y=x;
(2)由相交两圆的性质,
可知P、Q点关于O1O2对称.
∵P(4,1),直线O1O2解析式为y=x,
∴Q(1,4).
如解答图1,连接O1Q.
∵Q(1,4),O1(m,m),根据两点间距离公式得到:
O1Q==
又O1Q为小圆半径,即QO1=m,
∴=m,
化简得:m2﹣10m+17=0 ①
如解答图1,连接O2Q,
同理可得:n2﹣10n+17=0 ②
由①,②式可知,m、n是一元二次方程
x2﹣10x+17=0 ③的两个根,
解③得:x=5±,
∵0<m<n,
∴m=5﹣,n=5+.
∵O1(m,m),O2(n,n),
∴d=O1O2==8;
(3)假设存在这样的抛物线,
其解析式为y=ax2+bx+c,
因为开口向下,所以a<0.
如解答图2,连接PQ.
由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2.
∵P(4,1),Q(1,4),
∴PQ==,
又O1O2=8,
∴S1=PQO1O2=××8=;
又S2=(O2R+O1M)·MR=(n+m)(n﹣m)=;
∴==1,
即抛物线在x轴上截得的线段长为1.
∵抛物线过点P(4,1),Q(1,4),
∴,解得,
∴抛物线解析式为:y=ax2﹣(5a+1)x+5+4a,令y=0,则有:ax2﹣(5a+1)x+5+4a=0,
设两根为x1,x2,
则有:x1+x2=,x1x2=,
∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1﹣x2|=1,
∴(x1﹣x2)2=1,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=1,
即()2﹣4()=1,
化简得:8a2﹣10a+1=0,
解得a=,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a<0)矛盾,
∴不存在这样的抛物线.
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