如图，已知二次函数L1：y=x2-4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究

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如图，已知二次函数L₁：y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L₁的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L₂：y=kx²﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

答案

解：（1）抛物线y=x²﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；
∴﹣

=﹣

=2，

=﹣1；
∴二次函数L₁的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）．
（2）①二次函数L₂与L₁有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2或定点的横坐标为2，都经过A（1，0），B（3，0）两点；
②线段EF的长度不会发生变化．∵直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，
∴kx²﹣4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²﹣4x+3=8，解得：x₁=﹣1，x₂=5，
∴EF=x₂﹣x₁=6，∴线段EF的长度不会发生变化．

举一反三

如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝

x²＋bx＋c与x轴相交于点B(－2，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y=

x²＋bx＋c向上平移

个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

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如图，已知直线

与 x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A、C和点B（-1，0）。
（1）求抛物线的解析式。
（2）若抛物线的顶点为M，求四边形AOCM的面积。
（3）若有两个动点D、E同时从点O出发，其中点D 以每秒

个单位长度的速度沿线段OA 运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线O-C-A运动，设运动时间为t 秒。
①在运动过程中，是否存在DE∥OC？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
②△ODE的面积为S，求S 关于t的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围。
[提示：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（

，

）

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

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已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，抛物线y＝ax²＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当动点P运动到何处时，BP²＝BD·BC；
(3)当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

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