如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究

如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究

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如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
答案
解:(1)抛物线y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3;
∴﹣=﹣=2,==﹣1;
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1).
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:对称轴为x=2或定点的横坐标为2,都经过A(1,0),B(3,0)两点;
②线段EF的长度不会发生变化.∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,
∴kx2﹣4kx+3k=8k,
∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,解得:x1=﹣1,x2=5,
∴EF=x2﹣x1=6,∴线段EF的长度不会发生变化.
举一反三
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
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如图,已知直线与 x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线经过点A、C和点B(-1,0)。
(1)求抛物线的解析式。
(2)若抛物线的顶点为M,求四边形AOCM的面积。
(3)若有两个动点D、E同时从点O出发,其中点D 以每秒个单位长度的速度沿线段OA 运动,点E以每秒4个单位长度的速度沿折线O-C-A运动,设运动时间为t 秒。
①在运动过程中,是否存在DE∥OC?若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由;
②△ODE的面积为S,求S 关于t的函数解析式,并写出自变量t 的取值范围。
[提示:二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线yax2bx-4与x轴交于A(4,0)、B(-2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点PPDAC,交BC于点D,连接CP
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当动点P运动到何处时,BP2BD·BC
(3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.
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