如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存

题型：期末题难度：来源：

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：(1)设抛物线的解析式为：y=a

+bx+c.

直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，

A点坐标为（-1，0）、B点坐标为(0，3). 又

抛物线经过A、B、C三点，

∴抛物线的解析式为：y=

+2x+3.
(2)

y=-

+2x+3=-(x-l)

+4,

该抛物线的对称轴为x= 1．
设Q点坐标为(1，m)，则AQ=

当AB=AQ时，

Q点坐标为（1，

）或（1，-

）；
当AB= BQ时，

解得：m

=0，m

=6,

Q点坐标为(1，0)或(1，6);
当AQ=BQ时，

,
解得：m=1，

Q点坐标为(1，1)．

抛物线的对称轴上是存在着点Q（1,

）、（1,-

）、(1，0)、(1，6)、(1，1)，
使△ABQ是等腰三角形.

举一反三

运动会上，一同学投掷铅球，时间x(秒)与高度y(米)之间的关系为y=ax²+bx（a≠0），若此铅球在第 7秒与第14秒时的高度相等，则在哪一时刻铅球最高[     ]
A. 第8 秒
B. 第10.5秒
C. 第7 秒
D. 第21秒

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当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用．某型号汽车的撞击影响可以用公式I=2v²来表示，其中v（千米／分）表示汽车的速度；
(1)列表表示I与v的关系；
(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？

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如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+2x+c与y铀交于点D(0，3)。
（1）直接写出c的值。
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，顶点为C点,求直线BC的解析式。
（3）已知点P是直线BC上运动时的一个动点。
①当点P在线段BC上运动时(点P不与B、C重合)，过点P作PE⊥y轴，垂足为 E，连接BE。设点P的坐标为(x，y)，△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
②试探索：在直线BC上是否存在点P，使得以点P为圆心、r为半径的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点 C为圆心、1为半径的⊙C外切？如果存在，试求r的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
[提示：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为

]

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如图，二次函数y=

的图象与x轴的交点是A(m，0)、B（n，0），与y轴的交点是C(0, 2)．
(1)求m、n的值．
(2)设P（x, y）（0< x < n）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①线段PQ的长度是否存在最大值？如果存在，最大值是多少？如果不存在，请说明理由
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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有这样一道题目：“已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(0，a)，B(1，-2)，_______，求证：这个二次函数图象的对称轴是x=2．”题目中的横线是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式？若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题的横线上填上一个适当的条件，把原题补充完整．

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