如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动

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如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒，将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA。
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值，若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长。

答案

解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）；
（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，
∴S_△DPA=AP×1=（4-t）×=（4t-t²），
∴当t=2时，S_最大=1；
（3）能够成直角三角形
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（）²+1+（4-t-1）²+（）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）
∴t=2秒；
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，即t+1=4，t=3秒
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形。
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=，
∴点D运动路线的长为。