已知：抛物线M：y=x2+（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2。（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求抛物线M的

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：抛物线M：y=x²+（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂。
（1）若x₁x₂＜0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；
（2）若x₁＜1，x₂＞1，求m的取值范围；
（3）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C（0，2）？若存在，求出M：y=x²+（m-1）x+（m-2）的值；若不存在，试说明理由；
（4）若直线l：y=kx+b过点F（0，7），与（1）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使，求直线l的解析式。

答案

解：（1）由题意得，
解得
∵m为正整数
∴m=1
∴。
（2）由题意知，当时

解得：
∴m的取值范围是。
（3）存在
因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），
所以A，B两点在y轴的同侧，
∴x₁x₂＞0
由切割线定理知，OC²=OA·OB，
即2²=|x₁||x₂|
∴|x₁x₂|=4
∴x₁x₂=4
∴m-2=4
∴m=6。
（4）设
则
过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为
则
所以由平行线分线段成比例定理知，
因此，，即
过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为
则
所以
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴或
当时，点
∵直线l过
∴
解得
当时，点
∵直线l过
∴
解得
故所求直线l的解析式为：或。