图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O,如图1,有一个边长为6个单位长的正方形EFG

图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O,如图1,有一个边长为6个单位长的正方形EFG

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图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O,如图1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大(即点O不动,正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8;再经过一秒,由8×8扩大为10×10;……),直到充满正方形ABCD,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小,另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动(即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始,先向左平移,当点Q与点B重合时,再向上平移,当点M与点C重合时,再向右平移,当点N与点D重合时,再向下平移,到达起始位置后仍继续按上述方式移动),正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动,设运动时间为x秒,它们的重叠部分面积为y个平方单位。
(1)请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分(重叠部分用阴影表示),并分别写出重叠部分的面积;
(2)①如图4,当1≤x≤3.5时,求y与x的函数关系式;
②如图5,当3.5≤x≤7时,求y与x的函数关系式;
③如图6,当7≤x≤10.5时,求y与x的函数关系式;
④如图7,当10.5≤x≤13时,求y与x的函数关系式;
(3)对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程,请你根据重叠部分面积y的变化情况,指出y取得最大值和最小值时,相对应的x的取值情况,并指出最大值和最小值分别是多少。


答案
解:(1)相应的图形如图2-1,2-2,
当x=2时,y=3;
当x=18时,y=18,
(2)①当1≤x≤3.5时,如图2-3,
延长MN交AD于K,设MN与HG交于S,MQ与FG交于T,
则MK=6+x,SK=TQ=7-x,
从而MS=MK-SK=2x-1,MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1,
∴y=MT·MS=(x-1)(2x-1)=2x2-3x+1;
②当3.5≤x≤7时,如图2-4,设FG与MQ交于T,则TQ=7-x,
∴MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1,
∴y=MN·MT=6(x-1)=6x-6;
③当7≤x≤10.5时,如图2-5,设FG与MQ交于T,则TQ=x-7,
∴MT=MQ-TQ=6-(x-7)=13-x,
∴y=MN·MT=6(13-x)=78-6x;
④当10.5≤x≤13时,如图2-6,设MN与EF交于S,NP交FG于R,
延长NM交BC于K,则MK=14-x,SK=RP=x-7,
∴SM=SK-MK=2x-21,从而SN=MN-SM=27-2x,NR=NP-RP=13-x,
∴y=NR·SN=(13-x)(27-2x)=2x2-53x+351,
(3)对于正方形MNPQ,
①在AB边上移动时,当0≤x≤1及13≤x≤14时,y取得最小值0;
当x=7时,y取得最大值36;
②在BC边上移动时,当14≤x≤15及27≤x≤28时,y取得最小值0;
当x=21时,y取得最大值36;
③在CD边上移动时,当28≤x≤29及41≤x≤42时,y取得最小值0;当x=35时,y取得最大值36;
④在DA边上移动时,当42≤x≤43及55≤x≤56时,y取得最小值0;当x=49时,y取得最大值36。

举一反三
工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货,标价售出,工艺商场每天可售出该工艺品100件,若每件工艺品降价1元,则每天可多售出该工艺品4件,问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
如图,抛物线y=ax2-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC。
(1)求线段OC的长;
(2)求该抛物线的函数关系式;
(3)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A(-1,0)、B(3,0)、N(2,3)三点,且与y轴交于点C。
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点M及点C的坐标;
(2)若直线y=kx+d经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;
(3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点,请探索:是否存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
题型:广西自治区中考真题难度:| 查看答案
题型:河南省中考真题难度:| 查看答案
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点(A、B分别在原点左、右两侧),与y轴正轴交于点C,OA:OB:OC=1:4:4,△ABC面积为40。

(1)求A、B、C三点坐标;
(2)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(3)若以抛物线上一点P为圆心的圆恰好与直线BC相切于点C,求点P的坐标。
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