如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E，点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E，点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止。
（1）设AP=x，△PQE的面积为S，请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围。
（2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由。

答案

解：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F，
∵在矩形ABCD中，PF∥AB，
∴△PFC∽△ABC，
∴，
又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2
又∵在Rt△ABC中，AC=，
∴PC=3-x，
∴，
∴FC=
∴BF=BC-FC=，
又∵PE⊥CD，
∴∠PEC=90°
又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四边形PFCE为矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF
又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB，

又
∴，又
∴
∴
∴
∴
∴
∴或
过点B作BK⊥AC，垂足为K，
在Rt△ABC中，
由等积法可得AC·BK=AB·BC，
∴AC·BK=AB·BC
3×BK=2×1
∴BK=
由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ABC得即
∴x=
∴x的取值范围是0＜x≤；
（2）△PQE面积有最大值，
由（1）可得
，
∴当即时，S面积最大，即S_最大=。