将一条抛物线y=x2+x+以其顶点为中心旋转180°后，与x轴正半轴交于A点，与y 轴交于B点，在第二象限内存在一点C（a，1），顺次连接A、B、C、O得到一个

题型：北京模拟题难度：来源：

将一条抛物线y=x²+x+以其顶点为中心旋转180°后，与x轴正半轴交于A点，与y 轴交于B点，在第二象限内存在一点C（a，1），顺次连接A、B、C、O得到一个四边形，过B 点作直线l将此图形分成面积相等的两部分，求：
（1）旋转后的抛物线解析式；
（2）直线l的解析式。（用a表示）

答案

解：（1）将y=x²+x+配方后得：
∴旋转后的抛物线解析式为：y=-（x+
即：y=-x²-x+2。（2）∵y=-x²-x+2，
∴A（1，0），B（0，2）
①当-1＜a＜0时，如图①，过C作CD∥y轴交x 轴于D，连接BD，
S_△BCO=S_△BDO，
则S_△BDA=S_{四边形BCOA}，取DA中点M，作直线BM，直线BM即为所求
∵C（a，1），
∴D（a，0）
∵A（1，0），
∴线段DA中点M的坐标为
设直线l的解析式为y=kx+2，
∴0=k·
∴
∴直线l的解析式为y=。②当a=-1时，如图②，
用①的方法操作，可知y轴为符合题意的直线l
即直线l的解析式为x=0。③当a＜-1时，如图③，
连接CA并取中点D，连接BD、DO，
∴S_{四边形BCDO}=S_{四边形BAOD}
过D点作DH//y轴，交OC于M，交x轴于H，作直线BM
∴S_△BDO=S_△BMO，
即S_△BCM=S_{四边形BMOA}
即直线BM是符合题意的直线l
过C点作CG∥y轴，交x轴于G，
∴H为GA的中点，
∵G（a，0），A（1，0）
∴
设M坐标为（x_m，y_m），则x_m=
设直线OC的解析式为y=
M在OC上
∴
∴M坐标为
设直线l的解析式为y=kx+2
∴
∴
∴直线l的解析式为y=
综上所述：当-1＜a＜0时，直线l的解析式为y=
当a=-1时，直线l的解析式为x=0
当a＜-1时，直线l的解析式为y=