已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图)。(1)写出A,B,C,D及AD的中点E的坐标

已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图)。(1)写出A,B,C,D及AD的中点E的坐标

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已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A,B,C,D及AD的中点E的坐标;
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴,并且经过点B,C的抛物线的解析式;
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标;
(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系?证明你的结论。
答案
解:(1)A(0,1),B(0,-1),C(4,-1),D(4,1),E(2,1);
(2)设抛物线的解析式为:y=a(x-2)2+1,
∵抛物线经过点B(0,-1),
∴a(0-2)2+1=-1解得a=-
∴抛物线的解析式为:y=-(x-2)2+1,
经验证,抛物线y=-(x-2)2+1经过点C(4,-1);
(3)直线BD的解析式为:y=x-1
解方程组
得点P的坐标:
(4)S△PEB=S△PBC
S△PBC=×4×=3
过P,E分别作PP"⊥BC,EE"⊥BC,垂足分别为P",

∴S△PEB=S△PBC
举一反三
如图1,点A是直线y=kx(k>0,且k为常数)上一动点,以A为顶点的抛物线y=(x-h)2+m交直线y=x于另一点E,交y轴于点F,抛物线的对称轴交x轴于点B,交直线EF于点C(点A,E,F两两不重合)。

(1)请写出h与m之间的关系;(用含的k式子表示)
(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2),求线段AC与OF的比值;
(3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3),求线段AC与OF的比值。
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如图,抛物线y=-x2+2nx+n2-9(n为常数)经过坐标原点和x轴上另一点C,顶点在第一象限。

(1)确定抛物线所对应的函数关系式,并写出顶点坐标;
(2)在四边形OABC内有一矩形MNPQ,点M,N分别在OA,BC上,点Q,P在x轴上,当MN为多少时,矩形MNPQ的面积最大,最大面积是多少?
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如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6)。

(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;
(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标。
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抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0),C(0,-3)。
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面积的比;
(3)在对称轴是否存在一个点P,使△PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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如图1,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=4,将矩形沿对角线AC剪开,解答以下问题:
(1)在△ACD绕点C顺时针旋转60°,△A1CD1是旋转后的新位置(图2),求此AA1的距离;
(2)将△ACD沿对角线AC向下翻折(点A、点C位置不动,△ACD和△ABC落在同一平面内),△ACD2是翻折后的新位置(图3),求此时BD2的距离;
(3)将△ACD沿CB向左平移,设平移的距离为x(0≤x≤4), △A2C1D3是平移后的新位置(图3),若△ABC与△A2C1D3重叠部分的面积为Y,求Y关于X的函数关系式。
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