已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）。（1）写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标

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已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）。
（1）写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
（2）求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S_△PEB与△PBC的面积S_△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。

答案

解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+1，
∵抛物线经过点B（0，-1），
∴a（0-2）²+1=-1解得a=-

，
∴抛物线的解析式为：y=-

（x-2）²+1，
经验证，抛物线y=-

（x-2）²+1经过点C（4，-1）；
（3）直线BD的解析式为：y=

x-1
解方程组

得点P的坐标：

；
（4）S_△PEB=

S_△PBCS_△PBC=

×4×

=3
过P，E分别作PP"⊥BC，EE"⊥BC，垂足分别为P"，

∴S_△PEB=

S_△PBC。

举一反三

如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）²+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C（点A，E，F两两不重合）。

（1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）
（2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值；
（3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值。

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如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限。

（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，点Q，P在x轴上，当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

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如图，一元二次方程x²+2x-3=0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）。

（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标。

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抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A（-1，0），C（0，-3）。
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积的比；
（3）在对称轴是否存在一个点P，使△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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如图1，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=4

，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：

（1）在△ACD绕点C顺时针旋转60°，△A₁CD₁是旋转后的新位置（图2），求此AA₁的距离；
（2）将△ACD沿对角线AC向下翻折（点A、点C位置不动，△ACD和△ABC落在同一平面内），△ACD₂是翻折后的新位置（图3），求此时BD₂的距离；

（3）将△ACD沿CB向左平移，设平移的距离为x（0≤x≤4

）， △A₂C₁D₃是平移后的新位置（图3），若△ABC与△A₂C₁D₃重叠部分的面积为Y，求Y关于X的函数关系式。

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