解:(1)36,54,18;
(2)设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H,与直角边AC的交点为M
BE=12-2x,AM=12-6=6
∴S=S△ABC-S△AMN -S△BHE=×12×12-×6×6-×(12-2x)2
=-2x2+24x-18
所以,当3<x<6时,S=-2x2+24x-18。
(3)设矩形DEFG与斜边AB的交点为M,延长FG交AC于点H
AH=12-6=6,HG=2x-12
∴S=S△ABC-S△AHM-S矩形HCDG
=×12×12-×6×6-×6×(2x-12)
=-12x+126
所以, 当6<x<9时,S=-12x+126。
(4)①过点O作OD⊥AB于点D,由题意得OD=6
∵∠ABC=45°,∠ODB=90°
∴OB==6
∴x1=(秒)
②过点O作OE⊥AB,交AB的延长线于点E,由题意得OE=6
∵∠OBE=45°,∠OEB=90°
∴OB==6
∴x2=(秒)
故当x等于(9-)秒或(9+)秒时,△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切。
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