如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°。（1）若△AOB的外接圆与y轴交 于点D，求D点坐标；（2）

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°。
（1）若△AOB的外接圆与y轴交 于点D，求D点坐标；
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明；
（3）二次函数的图象经过点O和 A且顶点在圆上，求此函数的解析式。

答案

解：（1）连结AD，
∵∠ABO=60°，
∴∠ADO=60°
由点A的坐标为（3，0）得OA=3，
∵在Rt△ADO中有 cot∠ADO=，
∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×=
∴点D的坐标为（0，）；
（2）DC与△AOB的外接圆相切于点D，理由如下：
由（1）得OD=，OA=3，
∴，
又∵C点坐标是（-1，0），
∴OC=1，
∴，
 ∵AC=OA+OC=3+1=4，
∴CD²+AD²=2²+（2）²=4²=AC²，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥DC，
由∠AOD=90°得AD为圆的直径，
∴DC与△AOB的外接圆相切于点D，
（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解）
（3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0），
可设它的解析式为 y=ax（x-3）（a≠0），
如图，作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点，
由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F，
∵EF垂直平分OA，
∴EF是圆的直径，
又∵AD是圆的直径，
∴EF与AD的交点M是圆的圆心，
由（1）、（2）得OA=3，AD=2，
∴AN=OA=，AM=FM=EM=AD=，
∴，
∴FN=FM-MN==，EN=EM+MN=+=，
∴点E的坐标是（，），点F的坐标是（，-），
当点E为抛物线顶点时，有（-3）a=，
a=，
∴y=x（x-3），
即y=x²+2x，
当点F为抛物线顶点时，有（-3）a=-，
a=，
∴y=x（x-3），
即y=x²x，
故二次函数的解析式为y=x²+2x或y=x²x。