将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(-3,0)。(1

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(-3,0)。(1

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将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(-3,0)。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,6),
∴c=6
∵抛物线的图象又经过点(-3,0)和(6,0)

解之得
故此抛物线的解析式为:
(2)设点P的坐标为(m,0)
则PC=6-m,S△ABC=BC·AO=×9×6=27
∵PE∥AB
∴△CEP∽△CAB


∴S△CEP=(6-m)2
∵S△APC=PC·AO=(6-m)×6=3(6-m)
∴S△APE= S△APC-S△CEP=3(6-m)-(6-m)2=-(m-2+
当m=时,S△APE有最大面积为;此时,点P的坐标为(,0)。(3)如图,过G作GH⊥BC于点H,设点G的坐标为G(a,b),连接AG、GC
∵S梯形AOHG=a(b+6)
S△CHG=(6-a)b
∴S四边形AOCG=a(b+6)+(6- a)b=3(a+b)
∵S△AGC= S四边形AOCG-S△AOC

∵点G(a,b)在抛物线的图像上


化简,得4a2-24a+27=0
解之得,
故点G的坐标为()或()。
举一反三
学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD,已知矩形广场地面的长为100米,宽为80米,图案设计如图所示:广场的四角为小正方形,阴影部分为四个矩形,四个矩形的宽都为小正方形的边长,阴影部分铺绿色地面砖,其余部分铺白色地面砖。
(1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米,那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?
(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元,铺绿色地面砖的费用为每平方米20元,当广场四角小正方形的边长为多少米时,铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少?

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已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形。
(1)求满足条件的所有点B的坐标;
(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可);
(3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。
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如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B,有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内,已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)。

(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?
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如图所示,抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),以AB为直径作⊙M,过抛物在线一点P作⊙M的切线PD切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E,连结DM并延长交⊙M于点N,连结AN、AD。
(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标;
(2)若四边形EAMD的面积为,求直线PD的函数关系式;
(3)抛物在线是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。

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已知抛物线有不同的两点E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D,设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式;
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F?
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