如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．（1）证明PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面

题型：四川省月考题难度：来源：

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

答案

解：（1）连接AC交BD于点O，则O为AC的中点．
∵E是PC的中点，
∴OE为△PAC的中位线，即有OE∥PA
又PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）以D为原点，DA、DC、DP分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则平面BDE的一个法向量为=（1，﹣1，1），平面DEC的一个法向量为
=（2 ，0 ，0 ）
设二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角为θ，
则cosθ===，
故二面角B﹣DE﹣C余弦值为．
（3）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），
∴·=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设=λ（0＜λ＜1），
则=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），
由·=0得4λ²+4λ²﹣2λ（2﹣2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），此时PF=PB，
即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．