(Ⅰ)证明:设AC∩BD=H,连接EH, 在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC, 所以H为AC的中点, 又E为PC的中点, 从而EH∥PA, 因为HE平面BDE,PA平面BDE, 所以PA∥平面BDE; (Ⅱ)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以PD⊥AC, 由(I)知BD⊥AC,PD∩BD=D,PD平面PBD,BD平面PBD, 从而AC⊥平面PBD: (Ⅲ)解:在△BCD中,DC=1,DB=2,∠BDC=45° 得 BC2=12+(2)2﹣2×1×cos45°=5, ∴BC=. 在Rt△PDC中,PC=BC=,DC=1, 从而PD=2,SABCD=2S△BCD=2, 故四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD=. |