（1）探究新知：①如图，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点。求证：△ABM与△ABN的面积相等；②如图，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥

题型：山东省中考真题难度：来源：

（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点。
求证：△ABM与△ABN的面积相等；
②如图，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由。
（2）结论应用：
如图③，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由。（友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论。）

答案

解：（1）①证明：分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴ME=NF，
∵S_△ABM=，S_△ABN=，
∴S_△ABM=S_△ABN，
②相等，理由如下：
分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．则∠DHA=∠EKB=90°，
∵AD∥BE，
∴∠DAH=∠EBK，
∵AD=BE，
∴△DAH≌△EBK，
∴DH=EK，
∵CD∥AB∥EF，
∴S_△ABM=，S_△ABG=，
∴S_△ABM= S_△ABG；

（2）答：存在，
解：因为抛物线的顶点坐标是C（1，4），所以，可设抛物线的表达式为， 又因为抛物线经过点A（3，0），将其坐标代入上式，得，解得，
∴该抛物线的表达式为，即，
∴D点坐标为（0，3），
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得k=-1，
∴直线AD的表达式为，
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H，则H点的纵坐标为-1+3=2，
∴CH=CG-HG=4-2=2，
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为，
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG，
由（1）可知：若EP=CH，则△ADE与△ADC的面积相等，
①若E点在直线AD的上方（如图③-1），
则PF=3-m，EF=，
∴EP=EF-PF==，
∴，
解得，，
当m=2时，PF=3-2=1，EF=1+2=3，
∴E点坐标为（2，3），
同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合，
②若E点在直线AD的下方（如图③-2，③-3），
则，
∴，
解得，，
当时，E点的纵坐标为；
当时，E点的纵坐标为，
∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E₁（2，3）；；。