如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=，设直线AC与直线x=4交于点E。（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线

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如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=，设直线AC与直线x=4交于点E。

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值。

答案

解：（1）点C的坐标，设抛物线的函数关系式为y=a（x-4）²+m
则
解得
∴所求抛物线的函数关系式为 ①
设直线AC的函数关系式为则

解得
∴直线AC的函数关系式为
∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得
∴此抛物线过E点。
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），
过M作MG⊥x轴于G，则S_△CMN=S_△MNG+S_梯形MGBC-S_△CBN=

=
=
∴当x=5时，S_△CMN有最大值。