如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E。(1)

如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E。(1)

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如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E。
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由。
答案
解:(1)由题意得B(3,1)
若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤
如图1,此时E(2b,0)
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即
如图2,此时,D(2b-2,1)
∴S=S-(S△OCD+S△OAE+S△DBE
=
(3)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED,
∴∠MED=∠MDE,
∴MD=ME,
∴平行四边形DNEM为菱形
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEN=,DH=1,
∴HE=2,
设菱形DNEM 的边长为a,
则在Rt△DHM中,由勾股定理知:

∴S四边形DNEM=NE·DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为
举一反三
如图,东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园,矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆。设矩形的宽为x,面积为y。
(1)求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)生物园的面积能否达到210平方米?说明理由。
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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动;点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动,过P作PE∥CB交AD于点E,设动点的运动时间为x秒。
(1)用含x的代数式表示EP;
(2)当Q在线段CD上运动几秒时,四边形PEDQ是平行四边形;
(3)当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时,求四边形EPDQ面积的最大值。
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如图,直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点。
(1)填空:A(____,____)、B(____,____)、C(____,____);
(2)求抛物线的函数关系式;
(3)E为抛物线的顶点,在线段DE上是否存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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如图,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方)。
(1)求点E,D 的坐标;
(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式;
(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标。
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如图,在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,对角线OB,AC相交于点M,OA=AB=4,OA=2CB。


(1)线段OB的长为____,点C的坐标为____;
(2)求△OCM的面积;
(3)求过O,A,C三点的抛物线的解析式;
(4)若点E在(3)的抛物线的对称轴上,点F为该抛物线上的点,且以A,O,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标。
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