已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2。(1)直线L:y=-x+2是否经过抛物线的顶点;(2)设该抛物线与x轴交于M、N两点,当OM·ON=4,且OM≠ON
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已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2。 (1)直线L:y=-x+2是否经过抛物线的顶点; (2)设该抛物线与x轴交于M、N两点,当OM·ON=4,且OM≠ON时,求出这条抛物线的解析式。 |
答案
解:(1)将y=-x2+2mx=m2-m+2 配方得:y=-(x-m)2-m+2 由此可知,抛物线的顶点坐标是:(m,-m+2), 把x=m代入y=x+2得y=-m+2, 显然直线y=-x+2经过抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2的顶点; (2)设M、N两点的横坐标分别为x1,x2,则x1,x2是方程-x2+2mx-m2-m+2=0的两个实数根, ∴x1·x2=m2+m-2 ∵OM·ON=4 即|x1·x2|=4 ∴m2+m-2=±4 当m2+m-2=4时 解得m1=-3,m2=2, 当m=2时,可得OM=ON不合题意, 所以m=-3, 当m2+m-2=-4时方程设有实数根, 因此所求的抛物线的解析式只能是 y=-x2-6x-4。 |
举一反三
如图①②,在平面直角坐标系中,边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°到△C1DE 的位置。 (1)求C1点的坐标; (2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式; (3)如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式; (4)抛物线上是否存在一点M,使得S△AMF∶S△OAB=16∶3,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。 |
图① 图② 图③ |
如图甲,矩形DEFC的边DE与x轴重合且OD=2,CF交y轴于点B(0,2),已知抛物线的顶点为 A(0,1),点C、F在抛物线上。 |
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(1)求此抛物线的解析式; (2)如图乙,若P点为抛物线上不同于A点的一点,连接PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R,试判断PS与PB是否相等,请说明理由; (3)在(2)的情况下,试探索在线段SR上是否存在点M,使得以P、S、M为顶点的三角形和以Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由。 |
一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100 件,根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为( )元。 |
如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6、AC=8,D、E分别是边AB、AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动,设BQ=x,QR=y。 |
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(1)若B、K两点的坐标分别为(0,0)、(5,5),C点在x轴的正半轴上,求经过K、B、C三点的抛物线解析式; (2)求点D到BC的距离DH的长; (3)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (4)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由。 |
2009年4月1日,合武铁路正式建成通车,“和谐号”高速列车到合肥只需2小时,为此,武汉到合肥的时间缩短了8个小时,此列车有588座,若票价定为120元,每趟可卖500张票;若每张涨价1元,则每趟少卖2张票,设每张票涨价x元(x为正整数)。 (1)请写出每趟的收入y(元)与x之间的函数关系式; (2)设某趟列车的收入为68000元,此收入是否为每趟的最大收入?请说明理由; (3)请分析售价在什么范围内每趟收入不低于62400元? |
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