解:(1)C1(3,);
(2)∵抛物线过原点O(0,0),设抛物线解析式为y=ax2+bx,
把A(2,0),C(3,)带入,得
解得a=,b=-
∴抛物线解析式为y=x2-x;
(3)∵∠ABF=90°,∠BAF=60°,
∴∠AFB=30° 又AB=2,
∴AF=4,
∴OF=2,
∴F(-2,0),
设直线BF的解析式为y=kx+b,
把B(1,),F(-2,0)带入,得
解得k=,b=,
∴直线BF的解析式为y=x+;
(4)①当M在x轴上方时,存在M(x,x2-x)
S△AMF:S△OAB=[×4×(x2-x)]:[×2×4]=16:3
得x2-2x-8=0,
解得x1=4,x2=-2,
当x1=4时,y=×42-×4=;
当x2=-2时,y=×(-2)2-×(-2)=,
∴M1(4,),M2(-2,)
②当M在x轴下方时,不存在,设点M(x,x2-x)
S△AMF:S△OAB=[-×4×(x2-x)]:[×2×4]=16:3
得x2-2x+8=0,b2-4ac<0,无解,
综上所述,存在点的坐标为M1(4,),M2(-2,)。
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