如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求一点M，使得第二、四象限的角平分线恰好

题型：模拟题难度：来源：

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点M，使得第二、四象限的角平分线恰好平分∠AOM；
（3）连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵此抛物线过原点（0，0），
∴设y=ax²+bx，
将A代入得，
∴1=4a+2b，
∵A（2，1）为顶点，
∴=2，
∴b=-4a，
∴1=4a+2×（-4a）=-4a，
∴a=-，
∴b=1，
∴y=-+x； （2）∵y=-x平分∠AOM，∠FOE=∠HOE=45°，
∴∠1=∠2，如图①，作AE⊥OA，EN⊥ON（E在y=-x上），
∴ON=OA，作AR⊥x，NS⊥y，
∴∠ORA=∠OSN=90°，且AR=1，OR=2，
在△OAR与△ONS中，

∴△OAR≌△ONS（AAS）
∴AR=NS=1，OR=OS=2，
∴N（-1，-2），
∴l∶ON，y=2x
M即为ON与抛物线交点，
∴
∴
∴M（-4，-8）； （3）当△OAB∽△OBP时，
∠AOB=∠BOP，
∴OB平分∠AOP或∠ABP，
∴l：OP₁必过点（2．-1），
∴1∶OP₁，y=
∴
∴
 ∴P₁（6，-3），
∴l：BP₂必过点（2，-1），
∴l：BP₂，y=
∴
∴
∴P₂（-2，-3），
如图②，连OP₂，BP₁，作P₂Q⊥y轴，
∴P₂Q =2，OQ=3，
在Rt△OP₂Q中，OP₂=，
由抛物线对称性得OP₂=BP₁=
∴OP₂≠OB，BP₁≠ OB，
∴不存在P点（抛物线上）使△OBP与△OAB相似。