如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F。（1）求证：△ADE∽△BEF； （2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，当x取什么

题型：江西省月考题难度：来源：

如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F。
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）在（2）的条件下，当1＜x＜2时，求y的取值范围。

答案

解：（1）在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEA+∠BEF=90°，
∵∠ADE+∠DEA=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
（2）由（1）知△ADE∽△BEF，
∴，
即，
∴，
∵，
∴当x=2时，y有最大值，且最大值为1；
（3）在中，当x<2时，y随x增大而增大，
且当x=1时，；
当x=2时，y=1，
∴当1<x<2时，y的取值范围是。