如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4。将纸片的直角部分翻

题型：贵州省中考真题难度：来源：

如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4。将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上。
（1）在图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长；
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0<t<3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t（0<t<3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标。

答案

解：（1） 据题意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，，
设DE=OE=x，
在Rt△BED中
BD²+DE²=BE²，即2²+x²=（4-x）²，解得，
∴E（0，），
在Rt△AOE中，；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，
∴四边形PMND是矩形，
∵AP=t×1=t，
∴PD=3-t，
∵△AMP∽△AED，
∴，
∴PM=，
∴，
∴或，
当时，；（3）△ADM为等腰三角形有以下二种情况：
①当MD=MA时，点P是AD中点，
∴，
∴（秒），
∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形，
过点M作MF⊥OA于F，
∵△APM≌△AFM，
∴AF=AP=，MF=MP==，
∴OF=OA-AF=3-=，
∴M（，）；
②当AD=AM=3时，
△AMP∽△AED，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形，
过点M作MF⊥OA于F
∵△AMF≌△AMP，
∴AF=AP=，FM=PM==，
∴OF=OA-AF=3-，
∴M（3-，）。