解:(1)∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点, ∴△=(-2)2-4×1×(m-1)=0, 解得,m=2; (2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2-2x+1,易得顶点B(1,0), 当x=0时,y=1,得A(0,1), 由1=x2-2x+1,解得,x=0(舍)或x=2,所以C点坐标为:(2,1), 过C作x轴的垂线,垂足为D,则CD=1,BD=xD-xB=1, ∴在Rt△CDB中,∠CBD=45°,BC=, 同理,在Rt△AOB中,AO=OB=1, 于是∠ABO=45°,AB=, ∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°,AB=BC, 因此△ABC是等腰直角三角形; (3)由题知,抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3, 当x=0时,y=-3; 当y=0时,x=-1或x=3, ∴E(-1,0),F(0,-3), 即OE=1,OF=3, ①若以E点为直角顶点,设此时满足条件的点为P1(x1,y1),作P1M⊥x轴于M, ∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°, ∴∠P1EM=∠EFO, 得Rt△EFO∽Rt△P1EM, 则, 即EM=3P1M, ∵EM=x1+1,P1M=y1, ∴x1+1=3y1,(*) 由于P1(x1,y1)在抛物线C′上, 则有3(x12-2x1-3)=x1+1, 整理得,3x12-7x1-10=0, 解得,x1=-1(舍)或 x1=, 把x1=代入(*)中可解得,, ∴P1(), ②若以F点为直角顶点,设此时满足条件的点为P2(x2,y2),作P2N⊥与y轴于N, 同第一种情况,易知Rt△EFO∽Rt△FP2N, 得, 即P2N=3FN, ∵P2N=x2,FN=3+y2, ∴x2=3(3+y2)(**) 由于P2(x2,y2)在抛物线C′上, 则有x2=3(3+x22-2x2-3), 整理得3x22-7x2=0, 解得x2=0(舍)或, 把代入(**)中可解得,, ∴P2(), 综上所述,满足条件的P点的坐标为:()或()。 |