已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）。（1）求抛物线的解析式；（2）若点

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），
①如图1，当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

答案

解：（1）由题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为；

（2）①令y=，解得x₁=1，x₂=3
∴B（3， 0）
当点P在x轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
易求直线BC的解析式为y=x-3，
 ∴设直线AP的解析式为y=x+n，
∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=-1。
∴直线AP的解析式为y=x-1
解方程组，得
∴点当点P在x轴下方时，如图1
设直线AP₁交y轴于点E（0，-1），
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P₂、P₃，
得直线P₂P₃的解析式为y=x-5，
解方程组，得
∴
综上所述，点P的坐标为：，；
②∵
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°
设直线CP的解析式为
如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α
∵∠PCB=∠BCA
∴∠PCB=45°-α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90°
∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴，
∴，
∴OQ=9，
∴
∵直线CP过点，
∴9k-3=0
∴
∴直线CP的解析式为。