如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3。

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3。

（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）：
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）；
（2）①点P不在直线ME上；
②依题意可知：P（t，t），N（t，），
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
==，
∵抛物线的开口方向向下，∴当=，且0<t=<3时，
，
当t=3或0时，点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形，
依题意可得，，
综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值。