平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A"B"OC"。
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平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A"B"OC"。
题型:安徽省中考真题
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平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A"B"OC"。
(1)若抛物线过点C,A,A",求此抛物线的解析式;
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A"B"OC"重叠部分△OC"D的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:点M在何处时△AMA"的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标。
答案
解:(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A"B"OC",点A的坐标为(0,3),点A′的坐标为(3,0),
所以抛物线过点C(-1,0),A(0,3),A′(3,0)。设抛物线的解析式为y=ax
2
+bx+c(a≠0),可得
解得
∴过点C,A,A′的抛物线的解析式为y=-x
2
+2x+3;
(2)因为AB∥CO,所以∠OAB=∠AOC=90°;
∴
又∠OC′D=∠OCA=∠B,∠C′OD=∠BOA,
∴△C′OD∽△BOA
又OC′=OC=1
∴
又△ABO的周长为
∴△C′OD的周长为
;
(3)连接OM,设M点的坐标为(m,n),
∵点M在抛物线上,
∴
,
∴
=
=
因为0<m<3,所以当
时,
,△AMA"的面积有最大值,
所以当点M的坐标为(
)时,△AMA"的面积有最大值,且最大值为
。
举一反三
如图,抛物线
与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0)。
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由。
题型:广东省中考真题
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如图,将-矩形OABC放在直角坐际系中,O为坐标原点,点A在x轴正半轴上,点E是边AB上的一个动点(不与点A、N重合),过点E的反比例函数
的图象与边BC交于点F。
(1)若△OAE、△OCF的而积分别为S
1
,S
2
,且S
1
+S
2
=2,求k的值;
(2)若OA=2,0C=4,问当点E运动到什么位置时,四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?
题型:福建省中考真题
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已知抛物线y=ax
2
+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,-3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A),
①如图1,当△PBC面积与△ABC面积相等时.求点P的坐标;
②如图2.当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式。
题型:福建省中考真题
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2011年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系。
(1)分别求y
1
和y
2
的函数解析式;
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额。
题型:湖北省中考真题
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如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线
经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1。
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,①求△ACQ周长的最小值;②若FQ=t,S
△ACQ
=s,直接写出s与t之间的函数关系式。
题型:湖北省中考真题
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