如图,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).(1)k=_____,点A的坐标为_____,点B的坐标为_____;(2)设抛

如图,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).(1)k=_____,点A的坐标为_____,点B的坐标为_____;(2)设抛

题型:甘肃省中考真题难度:来源:
如图,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)k=_____,点A的坐标为_____,点B的坐标为_____;
(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形。
答案
解:(1),  A(-1,0),  B(3,0).
(2)如图(1),抛物线的顶点为M(1,-4),连结OM.
则 △AOC的面积=,△MOC的面积=, △MOB的面积=6, 
∴ 四边形 ABMC的面积 =△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9.
(3)如图(2),设D(m,),连结OD.
则 0<m<3, <0.
且 △AOC的面积=,△DOC的面积=, △DOB的面积=-),
∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=
=. 
∴ 存在点D,使四边形ABDC的面积最大为
(4)有两种情况: 如图(3),过点B作BQ1⊥BC,交抛物线于点Q1、交y轴于点E,连接Q1C.
∵ ∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,BO=OE=3.
∴ 点E的坐标为(0,3).
∴ 直线BE的解析式为
解得
∴ 点Q1的坐标为(-2,5).
如图(4),过点C作CF⊥CB,交抛物线于点Q2、交x轴于点F,连接BQ2
∵ ∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,OF=OC=3.
∴ 点F的坐标为(-3,0).
∴ 直线CF的解析式为
解得
∴点Q2的坐标为(1,-4).
综上,在抛物线上存在点Q1(-2,5)、Q2(1,-4),使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形.


图(1)

 


图(4)

举一反三
如图 ,已知直线 L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.
(1)直接写出直线L的解析式;
(2)设OP=t,的面积为S,求S关于t的函数关系式;并求出当时,S的最大值;
(3)直线L1过点A且与x轴平行,问在L1上是否存在点C, 使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.
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在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,点D、E分别在AB、AC上,且DE将△ABC的周长分成相等的两部分.设AE=x,AD=y,△ADE的面积为S.
(1)求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求出S关于x的函数关系式;试判断S是否有最大值,若有,则求出其最大值,并指出此时△ADE的形状;若没有,请说明理由.
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当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B. (1)求该抛物线的关系式;
(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;
(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由.
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已知矩形纸片的长为4,宽为3,以长所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点不重合),现将沿PC翻折得到,再在边上选取适当的点D,将沿翻折,得到,使得直线重合.
(1)若点E落在边上,如图①,求点的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;
(2)若点E落在矩形纸片的内部,如图②,设当x为何值时,y取得最大值?
(3)在(1)的情况下,过点三点的抛物线上是否存在点Q,使是以为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标。
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某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数(x>0),若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度为[     ]
A.40 m/s
B.20 m/s
C.10 m/s
D.5 m/s
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