当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B． （1）求该抛物线的关系式；（2）若点M（x，y1

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

当x=2时，抛物线y=ax²+bx+c取得最小值-1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B． （1）求该抛物线的关系式；
（2）若点M（x，y₁），N（x+1，y₂）都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小；
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

答案

（1）由题意可设抛物线的关系式为y=a(x-2)²-1
因为点C（0，3）在抛物线上所以3=a(0-2)²-1，
即a=1
所以，抛物线的关系式为y=(x-2)²-1=x²-4 x+3；
（2）∵点M（x，y₁），N（x+1，y₂）都在该抛物线上
∴y₁-y₂=（x²-4 x+3）-[(x+1)²-4(x+1)+3]=3-2 x

（3）令y=0，即x²-4 x+3=0，得点A（3，0），B（1，0），
线段AC的中点为D（，）
直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，
△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．
①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，
DF所在直线为
 

②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，
由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y=x．