如图2，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3

题型：河南省中考真题难度：来源：

如图2，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图2所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图3所示）.
① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)，
故可设其关系式为
又抛物线经过O(0,0)，于是得，
解得 a=-1
∴ 所求函数关系式为，即.；
（2）① 点P不在直线ME上.
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，
又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8.
由已知条件易得，当t时，OA=AP，
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
∴ 当t时，点P不在直线ME上；
② S存在最大值. 理由如下：
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)
∴ AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t ²+4 t)- t=-t ²+3 t=t(3-t)≥0 ,
∴ PN=-t ²+3 t
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴ S=DC·AD=×3×2=3.
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，


综上所述，当t时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，
这个最大值为.