在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE=x，AD=y，△ADE的面积为S．（1

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在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE=x，AD=y，△ADE的面积为S．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时△ADE的形状；若没有，请说明理由．

答案

（1）∵DE平分△ABC的周长
∴

，即y+x=12
∴y关于x的函数关系式为：y=12-x（2≤x≤6）；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F
∵

，即

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴

，即

∴

故当x=6时，S取得最大值

此时，y=12-6=6，即AE=AD．因此，△ADE是等腰三角形

举一反三

当x=2时，抛物线y=ax²+bx+c取得最小值-1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）求该抛物线的关系式；
（2）若点M（x，y₁），N（x+1，y₂）都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小；
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

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已知矩形纸片

的长为4，宽为3，以长

所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点

不重合），现将

沿PC翻折得到

，再在边

上选取适当的点D，将

沿

翻折，得到

，使得直线

重合．
（1）若点E落在边

上，如图①，求点

的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片

的内部，如图②，设

当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点

三点的抛物线上是否存在点Q，使

是以

为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

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某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数

（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为[ ]
A．40 m/s
B．20 m/s
C．10 m/s
D．5 m/s

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如图2，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图2所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图3所示）.
① 当t=

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP =_____ ，点Q到AC的距离是_____ ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

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