如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ. DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作

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如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ. DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F。
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

答案

解：（1）证明∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD（过程“略”）
（2）注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S_△PEF=
得S_△PEF==
∴当，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值。
（3）作A关于直线BC的对称点A"，连DA"交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点