已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若关于x的二次函数y=mx2-(3m-1)x+2m-
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已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0. (1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根; (2)若关于x的二次函数y=mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式; (3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围. |
答案
(1)分两种情况讨论. ①当m=0时,方程为x-2=0,x=2. ∴m=0时,方程有实数根. ②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式 △=[-(3m-1)]2-4m(2m-2) =9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1 =(m+1)2≥0, ∴m≠0时,方程有实数根. 故无论m取任何实数时,方程恒有实数根. 综合①②可知,m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根;
(2)设x1,x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标, 则x1+x2=,x1x2=. 由|x1-x2|= = = = =||. 由|x1-x2|=2,得||=2, ∴=2或=-2. ∴m=1或m=-. ∴所求抛物线的解析式为y1=x2-2x, y2=-(x-2)(x-4). 其图象如右图所示:
(3)在(2)的条件下y=x+b与抛物线 y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象求b的取值范围. , 当y1=y时,得x2-3x-b=0,有△=9+4b=0得b=-. 同理,△=9-4(8+3b)=0,得b=-. 观察图象可知, 当b>-,或b<-直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点; 由, 当y1=y2时,有x=2或x=1. 当x=1时,y=-1. 所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线为y=x-2. 综上所述可知:当b<-或b>-或b=-2时, 直线y=x+b与(2)中图象只有两个交点. |
举一反三
已知y=ax2+bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况( )A.有两个不相等的实数根 | B.有两个相等的实数根 | C.无实数根 | D.以上答案均不对 |
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如图某抛物线的图象,顶点坐标为(3,-2),图象与x轴的一个交点为(1,0),则图象与x轴的另一个交点的坐标为______.
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已知抛物线在x轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为(2,3),求解析式. |
已知抛物线y=px2+x+q(pq≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,问△ABC能否成为直角三角形?如果能,请给出pq应满足的条件,并加以证明;如果不能,请说明理由. |
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3,0),对称轴是x=1,当y>0时,自变量x的取值范围是______.
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