已知抛物线y=px2+x+q(pq≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,问△ABC能否成为直角三角形?如果能,请给出pq应满足的条

已知抛物线y=px2+x+q(pq≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,问△ABC能否成为直角三角形?如果能,请给出pq应满足的条

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已知抛物线y=px2+x+q(pq≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,问△ABC能否成为直角三角形?如果能,请给出pq应满足的条件,并加以证明;如果不能,请说明理由.
答案
当pq=-1时,能成为直角三角形.
理由:∵抛物线y=px2+x+q(pq≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),
∴AB=|x1-x2|,
∴x1+x2=-
1
p
,x1•x2=
q
p

假设△ABC能构成为直角三角形,则x1•x2<0,即
q
p
<0,
由抛物线y=px2+x+q(pq≠0)可知,C点的坐标为(0,q),
∴AC2+BC2=AB2,即x12+2q2+x22=(x1-x22,q2=-x1•x2=-
q
p

q
p
<0,
∴-
q
p
>0,
∴q2=-x1•x2=-
q
p
有意义,
∴pq=-1.
故能构成为直角三角形,应满足pq=-1.
举一反三
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3,0),对称轴是x=1,当y>0时,自变量x的取值范围是______.
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已知:如图,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标.
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二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.Q(n,2)是图象上的一点,且AQ⊥BQ.则a的值为______.
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已知二次函数y=-x2+2x+m的图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为______;不等式-x2+2x+m>0的解集是______;当x______时,y随x的增大而减小.
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如图,抛物线y=
1
2
x2+mx+n
交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是-3,点B的横坐标是1.
(1)求m、n的值;
(2)求直线PC解析式.
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