已知二次函数y=x2+ax+a-2.(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时,求出此

已知二次函数y=x2+ax+a-2.(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时,求出此

题型:黔东南州难度:来源:
已知二次函数y=x2+ax+a-2.
(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为


13
时,求出此二次函数的解析式;
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为
3


13
2
?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)因为△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,
所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.

(2)设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根,则x1+x2=-a,x1•x2=a-2,因两交点的距离是


13

所以|x1-x2|=


(x1-x2)2
=


13

即:(x1-x22=13
变形为:(x1+x22-4x1•x2=13
即(-a)2-4(a-2)=13
整理得:(a-5)(a+1)=0
解方程得:a=5或-1
又∵a<0
∴a=-1
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3.

(3)设点P的坐标为(x0,y0),
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于


13

∴AB=


13

∴S△PAB=
1
2
AB•|y0|=
3


13
2



13
|y0|
2
=
3


13
2

即:|y0|=3,则y0=±3
当y0=3时,x02-x0-3=3,即(x0-3)(x0+2)=0
解此方程得:x0=-2或3
当y0=-3时,x02-x0-3=-3,即x0(x0-1)=0
解此方程得:x0=0或1(11分)
综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3).
举一反三
抛物线y=-x2+x+7与x轴的交点个数是(  )
A.3B.2C.1D.0
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已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:
①当x=-2时,y=1;
②当x>x2时,y>0;
③方程y=kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2
④x2-x1=


1+4k2
k

其中所有正确的结论是______(只需按顺序填写序号,答案格式如:①②③④).
题型:不详难度:| 查看答案
二次函数y=-(2x-4)(x+3)的图象与x轴的交点坐标为______.
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y=-x2+2x+2与x轴的交点个数是______个.
题型:不详难度:| 查看答案
若函数y=(m2-4)x2+(2m+1)x+1的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
题型:不详难度:| 查看答案
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