已知如图,AD是△ABC的角平分线,过点A的直线MN⊥AD,CH⊥MN。求证:HB+CH>AB+AC。

已知如图,AD是△ABC的角平分线,过点A的直线MN⊥AD,CH⊥MN。求证:HB+CH>AB+AC。

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已知如图,AD是△ABC的角平分线,过点A的直线MN⊥AD,CH⊥MN。求证:HB+CH>AB+AC。
答案
解:延长CH交BA的延长线于E

因为AD平分∠BAC,MN⊥AD,CH⊥MN
所以AD∥CH
所以∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACH
由AN平分∠CAE,得∠BAD=∠DAC
故∠E=∠ACH
因为CH⊥MN,∠AHC=∠AHE=90°
因为AH=AH
所以△ACH≌△AEH
所以CH=EH
由CH⊥MN,易知MN是CE的垂直平分线
所以AC=AE
在△BHE中,BH+HE>BE,即BH+HC>BE,所以HB+CH>AB+AC。
举一反三
如图,AB是⊙O的的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦AD//OC,弦DF⊥AB于点G。
(1)求证:点E是的中点;
(2)求证:CD是⊙O的切线。
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如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=38°,则∠OAC的度数是(    )。
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如图,正方形ABCD中,有直径为BC的半圆,BC=2cm。现有E、F两点,分别从B点、A点同时出发,点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动,点F沿折线A-D-C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开B点的时间为t(秒)。
(1)当t为何值时,线段EF与BC平行?
(2)设1<t<2,当t为何值时,EF与半圆相切?
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如下图所示,AB∥CD,∠D=2∠B,设AD=a,DC=b,那么线段AB的长为
[     ]
A.2a-b
B.2b-a
C.a+b
D.a-b
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如图,AB∥CD,AD,BC相交于O点,∠BAD=35°,∠BOD=76°,则∠C的度数是
[     ]
A.31°
B.35°
C.41°
D.76°
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