如图，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G．问：图中除由切线长定理可知AF=AE，BF=BD

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如图，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G．问：图中除由切线长定理可知AF=AE，BF=BD，CD=CE外，还有相等的线段吗？若有，请指出来，并加以证明．

答案

有相等的线段：HG=HF
过点A作FG的平行线分别交DF、DG的延长线于点M、N
则∠AMF=∠BDF
由切线长定理知BF=BD、AF=AE．
所以∠BDF=∠BFD，
又∵∠BFD=∠AFM，
∴∠AMF=∠AFM，
∴AM=AF，
同理：AN=AE，
∴AM=AN，
又FG∥MN，
∴△DFH∽△DMA，

HF

AM

=

DH

DA

，
同理：

HG

AN

=

DH

DA

，
∴

HF

AM

=

HG

AN

，
∴HG=HF．