如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE.(1)证明:△ABE

如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE.(1)证明:△ABE

题型:来宾难度:来源:
如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长
魔方格
AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE.
(1)证明:△ABE△BFE;
(2)证明:△BDE是等腰直角三角形;
(3)如果四边形ABEC是梯形,试求∠ABC的大小.
答案
(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.(1分)
又∵∠CAE=∠CBE(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CBE=∠BAE.(2分)
又∵∠AEB=∠BEF,
∴△ABE△BFE.

(2)证明:∵AB是半圆O的直径,
∴∠DEB=90°.(4分)
又∵AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,
∴∠CAE=∠BAE,∠ABD=∠FBD.
又∵∠EDB=∠BAE+∠ABD,
∠EBD=∠CBE+∠FBD
∠CAE=∠CBE(同弧所对的圆周角相等),
∴∠EDB=∠EBD.(5分)
∴△BDE是等腰直角三角形.

(3)∵四边形ABEC是梯形,
∴CEAB.
∴∠CEA=∠BAE.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.
又∵∠CEA=∠ABC(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CAE=∠BAE=∠ABC.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°(即3∠ABC=90°).
∴∠ABC=30°.
举一反三
如图,已知平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE,BF交于H,BF,AD的延长线交于G,给出下列结论:①DB=


2
BE;②∠A=∠BHE;③AB=BH,其中正确的结论个数有(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
魔方格
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如图,∠ABC=∠ADC=Rt∠,E是AC的中点,则(  )
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.∠1与∠2大小关系不能确定
魔方格
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若等腰△ABC的腰长AB=2,顶角∠BAC=120°,以BC为边的正方形面积为(  )
A.3B.12C.
27
4
D.
16
3
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如图,是屋架设计图的一部分,其中BC⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点,∠A=30°,AB=7m,则BC=______m,DE=______m.魔方格
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已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E,BD=4cm.求AC的长.魔方格
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