已知:点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内,把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三点共

已知:点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内,把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三点共

题型:海淀区二模难度:来源:
已知:点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内,把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三点共线,如图所示.
(1)若△CDP、△EFP均为等腰三角形,且DF=2,求AB的长;
(2)若AB=12,tan∠C=
4
3
,且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似,求四边形CDFE的面积的最小值.魔方格
答案
(1)设DP=x,PF=y,
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形,且∠CDP=∠EFP=90°,
∴CD=DP=x,EF=PF=y,PC=


2
x
,PE=


2
y

∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE
=x+x+


2
x
+y+y+


2
y

=(2+


2
)(x+y),
∵DF=2,
∴x+y=2.
∴AB=(2+


2
)×2=4+2


2


(2)连接CE.
由于tan∠C=
4
3
,且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似,因此分两种情况考虑.
①当∠DCP=∠PEF时,
设DP=4m,PF=4n,则CD=3m,EF=3n,
根据勾股定理,可得CP=5m,PE=5n.
魔方格

∵AB=CD+PC+DP+PE+EF+PF=12(m+n)=12,
∴m+n=1,
∵S四边形CDFE=
1
2
(3m+3n)(4m+4n),
=6(m+n)2
=6,
当∠DCP=∠EPF时,
设DP=4m,PF=3n,则CD=3m,EF=4n,
根据勾股定理,可得CP=5m,PE=5n.
∵AB=12(m+n)=12,
∴m+n=1.
∵m>0,n>0,
∴S四边形CDFE=
1
2
(3m+4n)(4m+3n)
=
1
2
(12m2+25mn+12n2)
=
1
2
[12(m+n)2+mn]

=
1
2
(12+mn)
=6+
1
2
mn>6,
综上所述,四边形CDFE的面积的最小值为6.
举一反三
已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,AM=AN,MNAC.
求证:MN=AC.魔方格
题型:上海难度:| 查看答案
如图所示,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PD切⊙O于C,BC和AD的延长线相交
魔方格
于点E,且AB=AE.
(1)求证:AD⊥PD;
(2)若圆的半径为______,BP=1.求证:△ABE是等边三角形.(题中横线上的数字被墨迹污染了,请你填上半径的值,并证明这个题目)
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知CD是Rt△ABC斜边上的高,AD=3,BD=8则CD的长为(  )
A.11B.2


6
C.24D.5
魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如图,D为AC上任一点,连接BD,过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E.求证:BD=AE.

魔方格

(2)若点D在AC的延长线上,如图,其他条件同(1),请画出此时的图形,并猜想BD与AE是否仍然相等?说明你的理由.
魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
直角三角形两直角边长为5和12,则此直角三角形斜边上的中线的长是(  )
A.5B.6C.6.5D.13
题型:不详难度:| 查看答案
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