请阅读下列材料:问题:如图(1),在等边三角形ABC内有一点P,且AP=2,BP=,CP=1,求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长?李明同学的思路是:将△B

请阅读下列材料:问题:如图(1),在等边三角形ABC内有一点P,且AP=2,BP=,CP=1,求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长?李明同学的思路是:将△B

题型:北京模拟题难度:来源:
请阅读下列材料:
问题:如图(1),在等边三角形ABC内有一点P,且AP=2,BP=,CP=1,求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长?
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图(2)连接PP",可得△P"PB是等边三角形,而△PP"A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP"B=150°,即∠BPC=∠AP"B=150°.进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决。
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图(3),在正方形ABCD 内有一点P,PA=,PB=,PC=1,求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长。
答案

解:如图,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP"A,则△BPC≌△BP"A
∴AP"=PC=1,BP=BP"=
连接PP",在Rt△BP"P中,
∵BP"=BP=,∠PBP"=90°,
∴PP"=2,∠BP"P=45°,
在△AP"P中,AP"=1,PP"=2,AP=
∵12+22=,即AP"2+PP"2=AP2
∴△AP"P是直角三角形,即∠AP"P=90°,
∴∠AP"B=135°,
∴∠BPC=∠AP"B=135°,
过点B作BE⊥AP"交AP"的延长线于点E,
∴∠EP"B=45°,
∴EP"=BE=1,
∴AE=2,
∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=
∴∠BPC=135°,正方形ABCD的边长为

举一反三
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=45°,∠ADC =120°,AD=DC,AB=2,求BC的长。
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在正方形网格中,小格的顶点叫做格点小华按下列要求作图:①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上; ②连接三个格点,使之构成直角三角形,小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC,请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,使三个网格中的直角三角形互不全等,并分别求出这三个直角三角形的斜边长。
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已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,∠A=60°,BC=4,求CD的长。
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某校把一块沿河的三角形废地(如图)开辟为生物园,已知∠ACB=90°,∠CAB=60°,AB=24m为便于浇灌,学校在点C处建了一个蓄水池,利用管道从河中取水,已知每铺设1m管道费用为50元,求铺设管道的最低费用(精确到1元)(≈1.73)
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在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的(    )等于(    )的一半。
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