一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a。 (1)如图
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一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a。 (1)如图
题型:河北省模拟题
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一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a。
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为_____,周长为_____;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为_____,周长为____;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证。
答案
解:(1)
;
(2)
;
(3)猜想:重叠部分的面积为
。
理由如下:
过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G,
为说明方便,不妨设MN与AC的交点为E,MK与BC的交点为F,
由于M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=
,
所以MH=MG=
,
又因为 ∠HME=∠GMF,
所以 Rt△MHE≌Rt△MGF,
因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积,
而正方形CGMH的面积是MG·MH=
×
=
,
所以阴影部分的面积是
。
举一反三
如图,∠ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连结AD,作BE⊥AD,垂足为E,连结CE,过点E作EF⊥CE,交BD于F.
(1)求证:BF=FD;
(2)∠A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由;
(3)∠A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DG=
DA,并说明理由.
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求证:(1)ED=DA;
(2)∠EBA=∠EAB ;
(3)BE
2
=AD·AC
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