△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D。（1）如图①，AE⊥BC于E，求证：CD=2AE；（2）如图②，P是AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作P

题型：北京期末题难度：来源：

△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D。
（1）如图①，AE⊥BC于E，求证：CD=2AE；
（2）如图②，P是AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF?AB于F，求证：2PE+PF=CD；
（3）在（2）中，若P为AC的延长线上任意一点，其它条件不变，请你在备用图中画出图形，并探究线段PE、PF、CD之间的数量关系。

答案

（1）证明：S_△ABC=AB·CD=BC·AE，
∵AB=2，BC=4，
∴×2×CD=×4×AE，
即CD=2AE；
（2）证明：如图②，连接PB，
则S_△ABC=S_△ABP+S_△BCP，
即AB·CD=AB·PF+BC·PE，
∵AB=2，BC=4，
∴×2×CD=×2×PF+×4×PE，
即CD=PF+2PE，
故2PE+PF=CD；
（3）解：如图③，连接PB，
则S_△ABP=S_△ABC+S_△PBC，
即AB·PF=AB·CD+BC·PE，
∵AB=2，BC=4，
∴×2×PF=×2×CD+×4×PE，
即PF=CD+2PE。