已知:如图所示,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A 关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于P、M。(1)求证:AB=CD;(2)若∠BAC

已知:如图所示,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A 关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于P、M。(1)求证:AB=CD;(2)若∠BAC

题型:专项题难度:来源:
已知:如图所示,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A 关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于P、M。
(1)求证:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由。
答案
证明:(1)∵AF平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB=∠BAC,
∵点D与点A关于点E对称,
∴E为AD中点,
∵BC⊥AD,
∴BC为AD的中垂线,
∴AC=CD,
在Rt△ACE和Rt△ABE中,∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°,∠CAD=∠DAB,
∴ACE=∠ABE,∴AC=AB,∴AB=CD;
(2)结论:∠F=∠MCD,
理由:∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC= ∠CAD,
∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,
∴∠MPC=∠CDA,∴∠MPF=∠CDM
∵AC=AB,AE⊥BC,∴CE=BE,∴AM为BC的中垂线,∴CM=BM,
∵EM⊥BC,∴EM平分∠CMB(等腰三角形三线合一),∴∠CME=∠BME,
∵∠BME=∠PMF,∴∠PMF=∠CME,∴∠MCF=∠F(三角形内角和定理)。
举一反三
已知a、b、c是△ABC的三条边长,且关于x的一元二次方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,那么这个三角形是 [     ]
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形
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如图所示,在四边形ABCD中,若AB=AC=AD,则下列等式不一定成立的是
[     ]
A.∠1=2∠4
B.∠2=2∠7
C.3∠+∠4=∠5
D.∠6=∠1+∠8
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如图所示,已知△ABC内接于⊙O,AE切⊙O于点A,BC∥AE。
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)设AB=10cm,EC=8cm,点P是射线AE上的点,若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似,问这样的点有几个?并求AP的长。
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已知等腰△ABC内接于半径为5的圆⊙O;如果底边BC的长为6,则底角的正切值为(    )。
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已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为 [     ]
A.30°
B.75°
C.105°
D.30°或75°
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