已知：如图，C为半圆O上一点，，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F。（1）求证：AD=CD； （2）若DF=，∠CAE=30°，求阴影

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，C为半圆O上一点，，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F。（1）求证：AD=CD；
（2）若DF=，∠CAE=30°，求阴影部分的面积.。

答案

（1）证明:∵弧AC=弧CE ∴ ∠CAE=∠B.
                ∵CP⊥AB, ∴∠CPB=90°. ∴∠B+∠BCP=90°.
               ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°. ∴∠ACP+∠BCP=90°
                ∴∠B=∠ACP. ∴∠CAE=∠ACP ∴AD=CD
（2）解：连结OC
           ∵∠CAE=30°, ∴∠ACD=30°,∠COA=60°. ∴∠CDF=60°
             ∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∴∠BCP=60°
             ∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°. ∴AD=CD=DF=
             ∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形. ∴∠CAO=60°
              ∴∠DAP=30°. ∵CP⊥OA,
               ∴AP=ADcos30°=2   ∴OA=2AP=4.
              ∴DP=ADsin30°=
              ∴CP=CD+DP=2
    ∴S_阴影=S_扇形-S_△AOC=- 
                                     =