P是等边△ABC内部一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7,所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是______.
题型:不详难度:来源:
P是等边△ABC内部一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7,所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是______. |
答案
如图所示: 将含有PA、PB边的三角形△BPA,以B为轴心,顺时针方向旋转60°, 则将△BPA移到△BDC,△BDC≌△BPA,BP=BD DC=PA,∠BDC=100°, 因为旋转60°,所以△BDP为等边形,等边三角形,三边相等,三角相等都是60°, 给我们解题极大方便,因为PD=PB,△PDC即由, PA、PB、PC构成的三角形∠DPC=120°-60°=60°, ∠PDC=100°-60°=40°, ∠DCP=180°-60°-40°=80°, 40:60:80=2:3:4, (其实这种解题方法思路是十分清晰的,为了把三条分散的射线构成一个三角形, 自然要把PB、PA所在的△PAB,整体移到PC这一边,BA移60°到BC和BC重合,P落到D上. 因为移动60°构成了△PBD为等边形PB=BD=PD,于是△PDC就是PA、PB、PC,构成的三角形, 由于AB=BC,AB与BC重合△ABP≌△BCD,保留了原来已知条件,即BD=BP,DC=PA, ∠BDC=100°移动60°构成的△PBD等边等角, 于是顺理成章的把PB用等长线把PD代替,这样才能构成△PDC,PD=PB,DC=PA, ∴△PDC为PA、PB、PC三条线段构成的三角形. 已知条件∠BPC=120°,仍然保留∠DPC=120°-60°=60°, ∠BDC=100°仍然保留∠PDC=100°-60°=40°, ∠PCD=180°-60°-40°=80°, (40:60:80=2:3:4.)
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举一反三
在等边△ABC中,D、E分别在AC、BC上,且AD=CE=nAC,连AE、BD相交于P,过B作BQ⊥AE于点Q,连CP. (1)∠BPQ=______,=______ (2)若BP⊥CP,求; (3)当n=______时,BP⊥CP? |
已知等边△OAB的边长为a,以AB边上的高OA1为边,按逆时针方向作等边△OA1B1,A1B1与OB相交于点A2. (1)求线段OA2的长; (2)若再以OA2为边,按逆时针方向作等边△OA2B2,A2B2与OB1相交于点A3,按此作法进行下去,得到△OA3B3,△OA4B4,…△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长.
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探究问题: (1)阅读理解: ①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离; ②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此为托勒密定理;
(2)知识迁移: ①请你利用托勒密定理,解决如下问题: 如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的 | BC | 上任意一点.求证:PB+PC=PA; ②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法: 第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆; 第二步:在 | BC | 上任取一点P′,连接P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+______; 第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段______的长度即为△ABC的费马距离.
(3)知识应用: 2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
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如图,已知边长为2的正三角形ABC中,P0是BC边的中点,一束光线自P0发出射到AC上的点P1后,依次反射到AB、BC上的点P2和P3(反射角等于入射角),且1<BP3<,则P1C长的取值范围是( )A.1<P1C< | B.<P1C<1 | C.<P1C< | D.<P1C<2 |
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若正三角形的边长为2cm,则这个正三角形的面积是______cm2. |
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